Pri krbe

Poznámky zo života s nohami v teple

Podnosy v jedálni

with 8 comments

Včera som obedoval s kolegom Danom Ševčovičom, ktorý spomínal, že videl, ako sa oválne podnosy v našej jedálni prepadli na stojane, kam ich odovzdávame. To ho doviedlo na nasledujúcu úlohu, o ktorej sme sa chvíľu zhovárali.

Majme elipsu v euklidovskej rovine. Treba ukázať, že keď ju “vtesnáme” medzi ľubovoľné dve rovnobežky p,q (t.j. obe priamky sú oporné k elipse a tá je v páse medzi nimi), tak vzdialenosť týchto rovnobežiek d nie je menšia ako dĺžka vedľajšej osi.

Dá sa samozrejme ukázať viac o tejto vzdialenosti. Čo ešte by ste vedeli? Dodatok k tejto úlohe: pozrieť sa na analogickú situáciu (s rovnobežkami, nie “vtesnaním”) v prípade hyperboly a paraboly.

Written by Pavel Chalmovianský

January 23rd, 2009 at 1:34 pm

Posted in Matematika

8 Responses to 'Podnosy v jedálni'

Subscribe to comments with RSS or TrackBack to 'Podnosy v jedálni'.

  1. Ahoj Palo, som rad, ze si sa opat aktivizoval a to dokonca ulohou! Ja ju sice nebudem riesit (som na to uz prilis pokazeny vlastnymi hodnotami psd maic :-), ale mam jeden podobny problem:

    V rovine mame nakreslene rovnobezky s rozostupmi L a na tuto rovinu nahodne z velkej vysky hodime elipsu s poloosami dlzok a,b, pricom 2a aj 2b je mensie ako L. (T.j. priemer elipsy je mensi ako L.) S akou pravdepodobnostou tato elipsa prekryje niektoru z rovnobeziek?

    Radoslav Harman

    24 Jan 09 at 2:28 pm

  2. A ta elipsa m e by Ň — ubovo— n í alebo jedna os je rovnobe n í s dan mi priamkami? A stred elipsy m e by Ň hocikde v rovine alebo len v p íse vytvorenom rovnobe kami?

    Pavel Chalmoviansk

    27 Jan 09 at 9:22 am

  3. Mne t íto Radova loha silne pripom §na jednu klasick lohu z geometrickej pravdepodobnosti, ktorej sme sa kedysi na cvi—ĺeniach z pravdepodobnosti a ítatistiky venovali – Ak í je pravdepodobnos Ň e se—ĺka d— ky d pretne rovnobe ku, ke—Á ju h íd eme na osnovu rovnobe iek s rozostupmi L. Nepam ňt ím si u presne vzorec, ale viem, e v ěom vystupovala kon ítanta p § (to s vis § s ot í—ĺan §m tej se—ĺky). A pr íve preto sa toto h ídzanie se—ĺky d í (pri znalosti onoho vzorca) pou i Ň na vypo—ĺ §tavanie desatinn ch miest p § (Buffonova ihla).

    No a se—ĺka je vlastne ípeci ílny pr §pad “degenerovanej elipsy”, v ktorej jedna poloos m í d— ku 0. Vyjadri Ň t pravdepodobnos Ň nejako presnej íie sa rad íej pok ía Ň nebudem, ka dop ídne u teraz vidno, e v tom vzorci sa bude ako ípeci ílny pr §pad da Ň vyjadri Ň t í zn íma pravdepodobnos Ň s se—ĺkou…

    rasto

    27 Jan 09 at 12:57 pm

  4. Palo: No nenap §sal som to najjasnej íie, uzn ívam. Tak e trochu presnej íie:

    V rovine m íme nekone—ĺne ve— a rovnobe iek, pri—ĺom ka d í dvojica susedn ch rovnobe iek je od seba vzdialen í L cm. (Ako nekone—ĺn linajkovan papier.)

    Na t to rovinu hod §me z ve— kej v íky spom §nan elipsu s poloosami a,b (2a men íie ako L aj 2b men íie ako L). Elipsa sa pri hode oto—ĺ § o n íhodn uhol a jej stred dopadne v n íhodnej polohe medzi priamkami. (Presnej íie: uhol zrotovania m í rovnomern ř rozdelenie na intervale (0,2 Č) a vzdialenos Ň stredu elipsy od najbli íej z priamok m í rovnomern ř rozdelenie na intervale (0,L/2).)

    Ot ízka je, s akou pravdepodobnos Ňou prekryje elipsa niektor z priamok.

    Ras Ňo: Je to presne ako p § íe í loha analogick í lohe o Buffonovej ihle, ale namiesto ihly h íd eme elipsu. Podobne, ako v klasickom zadan § probl řmu o Buffonovej ihle predpoklad íme ihlu, ktor í nie je dos Ň dlh í aby pre Ňala naraz dve priamky, tak aj tu predpoklad íme elipsu, ktor í nie je dos Ň ve— k í na to, aby s —ĺasne prekryla dve priamky.

    Radoslav Harman

    27 Jan 09 at 1:21 pm

  5. E íte by som mal ur—ĺite doda Ň, e presn v sledok sa ned í nap §sa Ň pomocou peknej formulky, len pomocou integr ílu. Je to skr ítka u loha pre pokro—ĺilej í §ch rie íite— ov.

    Radoslav Harman

    27 Jan 09 at 5:06 pm

  6. No uz je mi to jasne. Bol som v zajati svojich dvoch rovnobeziek, aj ked mi to mohlo dojst. Ulohu s ihlou si aj ja pamatam este zo studentskych cias.

    Tak som zvedavy, ci to mam dobre:

    Staci to spravit pre jeden pas, zvysne su analogicke. V jednom pase je situaci a symetricka pre body blizsie k jednej alebo druhej priamke.

    Vychadza mi, ze pre stred elipsy vo vzdialenosti d, kde b<=d<=a treba spocitat dlzku l(a,b,d) elipsy mimo kruznice s polomerom d a stredom v strede elipsy a podelit dlzkou elipsy l'(a,b). Nasledne by som to vynasobil pravdepodobnostou, ze stred bude vzdialeny d od najblizsej priamky, co je 2/L. Pre stred, kde d<=a mame isty zasah. Takze ked to dam dokopy, tak to bude cosi tvaru:

    2*(\int_{a}^{b} 2/L l(a,b,x)/l'(a,b) dx +
    a*2/L)

    No a vynasobime to este dvoma za symetriu.

    Tie l a l' su elipticke integraly, ktore sa vo vseobecnosti nedaju vyjadrit v elementarnych funkciach.

    Pavel Chalmoviansk

    27 Jan 09 at 11:15 pm

  7. Myslim, ze moje riesenie nie je spravne. Zamenil by som pod integralom vyraz l(a,b,d)/l`(a,b) za pomer dlzky l”(a,b,d)/(2\pi d), kde l”(a,b,d) je dlzka kruznice s polomerom d a stredom v strede elipsy vnutri tejto elipsy. V menovateli je potom dlzka celej tejto kruznice. Takze vysledok by bol

    2*(\int_{a}^{b} 2/L l”(a,b,x)/(2\pi x) dx +
    a*2/L)

    Pavel Chalmoviansk

    28 Jan 09 at 9:35 am

  8. K tej povodnej ulohe: mne sa zda, ked vynechame odpornost, err, opornost, ze tak sa aj dost siroka elipsa vtesna medzi lubovolne blizke nezhodne rovnobezky, staci ju strcit medzi ne ako list do schranky. :-P
    To nechcem len vyryvat. Myslim, ze tak to onehdy mohlo vzniknut aj s tymi podnosmi, ze boli nakrivo, nie vodorovne…

    Lev bez hrivy

    17 Feb 09 at 4:39 pm

Leave a Reply