Pri krbe

Poznámky zo života s nohami v teple

Archive for the ‘Matematika’ Category

Prezentácia z habilitačnej prednášky

without comments

Pre záujemcov dávam k dispozícii slajdy z mojej habilitačnej prednášky z 27. mája.

Written by Pavel Chalmovianský

September 23rd, 2011 at 3:45 pm

Päťuholník s piatimi pravými uhlami

without comments

Na prvý pohľad to je poriadna hlúposť. Ale taký päťuholník existuje. A nielen päťuholník. Keď sa s nimi chceme stretnúť, musíme zmeniť prostredie, kde ich konštruujeme. Musíme opustiť svet euklidovskej geometrie a vojsť do sveta tej neeuklidovskej, v našom prípade hyperbolickej geometrie.

Jedným z modelov takejto roviny je Poincarého kruhový model hyperbolickej roviny. Je daný kruhom K v euklidovskej rovine (tej, na ktorú sme zvyknutý), z ktorého vynecháme hraničnú kružnicu k. Takúto množinu nazývame aj otvoreným kruhom. Bodom v takejto rovine je každý bod otvoreného kruhu. Priamky sú dvojaké. Jednak všetky priemery daného kruhu (samozrejme bez bodov ležiacich na hraničnej kružnici k) a jednak časti kružníc, ktoré sa s hraničnou kružnicou pretínajú pod pravým uhlom a ležia vo vnútri otvoreného kruhu. Uhol Θ dvoch takýchto priamok hyperbolickej roviny (teda častí euklidovských kružníc) sa určuje ako uhol dvoch euklidovských priamok, ktoré sú dotyčnicami ku kružniciam určujúcim priamky hyperbolickej roviny v ich spoločnom bode vnútri kruhu K. Asi dosť komplikované na prvý pohľad, ale obrázok všetko vyjasní.

V euklidovskej rovine sa ku každej priamke l a bodu P mimo nej dá zostrojiť jediná rovnobežka q (t.j. priamka q, ktorá nemá s tou pôvodnou spoločný žiaden bod a obsahuje bod A). V neeuklidovskej geometrii to neplatí.  Špeciálne v hyperbolickej rovine existuje takých priamok viac, napr. l1 ,l2.

No a teraz úloha z názvu tohoto príspevku. Zostrojte v takejto hyperbolickej rovine ľubovoľný n-uholník, kde n je prirodzené číslo väčšie ako 2. Skúste prísť na všeobecný recept, resp odôvodniť či to vôbec ide.

Úloha sa dá formulovať v reči euklidovskej geometrie. Treba zostrojiť n kružníc, ktoré sa s kružnicou k pretínajú pod pravým uhlom. Ďalej treba nájsť cyklický zoznam týchto kružníc, v ktorom sa každé dve susedné kružnice budú pretínať pod pravým uhlom v kruhu K.

Written by Pavel Chalmovianský

April 17th, 2010 at 3:38 pm

Posted in Matematika

Tagged with

Balada o vete Rolleovej

with 6 comments

Dovolím si reprodukovať známu baladu, vzhľadom na to, že tvrdenie budem najbližšie potrebovať na prednáške. Takže na začiatok tóny svitu luny (od Debussyho pre pamätníkov) a nedeľná chvíľka poézie môže začať.

Heinrich von Boole-Karajan

Balada o vete Rolleovej

Túto vetu – závažnú, no krátku
nechal nám pán Rolle na pamiatku.
Každému z vás iste cestu skríži
(Neubrunn, Vencko: skriptá z analýzy).
V tej vete je skrytá vôňa kvetov.
Dovoľte mi zblížiť vás s tou vetou.

Predpoklady – tie su vskutku malé:
spojitosť na celom intervale
no a vnútri, vlastnosť to nie nová
funkciu f možno derivovať.
Na okrajoch potom už len stačí
ak sa “f(a)” “f(b)” rovnať ráči.

Keď už spĺňa tieto predpoklady,
funkcia f máva veľké klady
kdesi v (a,b) bod c sa už kľuje
f ` sa v céčku vynuluje.

Snáď stratíme ešte dve-tri slová
o tom, ako vetu dokazovať:
ak f žije medzi konštantami
urobte si, prosím, dôkaz sami.
No a ak je nekonštantne pestré
celkom iste nadobúda extrém.
Zvyšok úvah, nie je ich tak veľa
nechame na prácu čitateľa.

Je to iste pocta poézie,
že pán Rolle oddnes v básňach žije.
Zato, prosím, priateľ slovesnosti
neuberaj vetám na presnosti.
To, čo básnik do obrazov snuje
matematik presne sformuluje.

(Doplnené a opravené: autorom balady je Ivan Kupka.)

Written by Pavel Chalmovianský

March 7th, 2010 at 8:58 pm

Posted in Humor,Matematika

Michail Gromov

without comments

Michail Leonidovič Gromov

Čítal som nedávno článok o vynikajúcom geometrovi, nositeľovi viacerých ocenení – Michailovi Gromovovi. V tomto roku obdržal Abelovu cenu. Jeho postreh o  poznaní a jeho ďalšom šírení sa mi zdá veľmi trefný. Kontrastuje s prístupom skupiny známej ako Nicolas Bourbaki, ktorá vyrástla pred a najmä po druhej svetovej vojne a stavala na formálnosti. Zrejme treba oboje. MG píše:

…this common and unfortunate fact of the lack of an adequate presentation of basic ideas and motivations of almost any mathematical theory is, probably, due to the binary nature of mathematical perception: either you have no inkling of an idea or, once you have understood it, this very idea appears so embarrassingly obvious that you feel reluctant to say it aloud; moreover, once your mind switches from the state of darkness to the light, all memory of the dark state is erased and it becomes impossible to conceive the existence of another mind for which the idea appears nonobvious…

Viac pozri v článkoch Marcela Bergera, Encounter with a Geometer Part I, Part II, Notices of AMS 47, 2000.

Written by Pavel Chalmovianský

December 12th, 2009 at 12:15 pm

Steinerov bod v trojuholníku a v štvorstene

with 2 comments

Nech ABC je trojuholník. Ktorý bod  P v jeho vnútri minimalizuje \|A-P\|+\|B-P\|+\|C-P\|? Ako je to v štvorstene?

Written by Pavel Chalmovianský

December 10th, 2009 at 12:36 am

Posted in Matematika

Divný pútnik

with 12 comments

Po dlhšom čase som sa opäť stretol s hlavolamom o pútnikovi. Je z planéty, ktorá je guľatá, ale na rozdiel od Zeme, sa vie pútnik pohybovať po celom jej povrchu. Pútnik vyrazí zo svojho domu  na juh 1 km, potom na východ 1 km a na sever 1km a ocitne sa doma. Kde je jeho domov? Prezradím, že riešenie nie je jediné.

Written by Pavel Chalmovianský

December 2nd, 2009 at 5:10 pm

Posted in Matematika

Tagged with

Podnosy v jedálni

with 8 comments

Včera som obedoval s kolegom Danom Ševčovičom, ktorý spomínal, že videl, ako sa oválne podnosy v našej jedálni prepadli na stojane, kam ich odovzdávame. To ho doviedlo na nasledujúcu úlohu, o ktorej sme sa chvíľu zhovárali.

Majme elipsu v euklidovskej rovine. Treba ukázať, že keď ju “vtesnáme” medzi ľubovoľné dve rovnobežky p,q (t.j. obe priamky sú oporné k elipse a tá je v páse medzi nimi), tak vzdialenosť týchto rovnobežiek d nie je menšia ako dĺžka vedľajšej osi.

Dá sa samozrejme ukázať viac o tejto vzdialenosti. Čo ešte by ste vedeli? Dodatok k tejto úlohe: pozrieť sa na analogickú situáciu (s rovnobežkami, nie “vtesnaním”) v prípade hyperboly a paraboly.

Written by Pavel Chalmovianský

January 23rd, 2009 at 1:34 pm

Posted in Matematika

Nový človek

with 2 comments

Môjmu dlhoročnému priateľovi a členovi Hydraklubu sa za výdatnej pomoci jeho manželky narodil syn. Touto cestou im všetkým trom a aj širšiemu okruhu želám veľa príjemných vzájomných chvíľ vo výchove a dúfam, že po vzore svojich predkov z neho raz bude matfyzák, nech nám to naše remeslo nevymrie.

Neviem, či je medzi sudičkami nejaká inklinujúca k matematike, ale keby som bol sudič(ka), tak by som nádejným matematikom dával do vienka vždy nenulového menovateľa, geometrické konštrukcie, ktoré sa zmestia na papier a ľahko dosiahnuteľné ĽS=PS.

Tak hor sa do života!

Written by Pavel Chalmovianský

April 27th, 2008 at 5:57 pm

Posted in Matematika,Osobné

Pokusy s matematikou na webe

without comments

Práve skúšam skript ASCIIMathML, ktorý umožňuje písať matematické symboly na web. Nie som si istý, či som všetko nastavil správne, takže tento príspevok budem ladiť, kým to nepôjde. Ukážka v Bloggeri totiž ignoruje moje nastavenie. Skript ASCIIMathML funguje na mojej stránke, ale v ramci blogspot sa mi ho nepodarilo spojazdniť.

Toto je Pythagorova veta $c^2 = a^2+b^2$. A tu je $\int \cos x dx = \sin x + c$.

Nakoniec sa mi podarilo rozbehnuť LaTeXMathML. Výsledok možno vidieť o riadok výššie. Stačí pridať do šablóny na stránku odkaz na skript:

<script src='http://www.sccg.sk/~chalmo/LaTeXMathML.js' type='text/javascript'>
&lt/script&gt

Ak s tým niekto máte skúsenosti, dajte mi prosím vedieť.

Written by Pavel Chalmovianský

March 20th, 2008 at 12:04 pm

Posted in Matematika,Pomôcky